Serhiy Grigorovich: Чому «український» «шкільний інтеграл» є кретинський, та й математично некоректний.

Абзац-повтор-цитата з попередньої статті: «Ви можете побачити що в 11 класі в підручниках математики, затверджених Міністерством освіти з 2011 р., в одних підручниках одне визначення ... „визначеного_інтегралу“, а в іншому — зовсім інше! В одному „визначений_інтеграл“ визначається ЯК СУМА, а в другому ЯК РІЗНИЦЯ, яка чомусь позначається значком суми, з такою собі сумасшедшинкою ... При чому неправильне визначення затверджено у БІЛЬШОСТІ підручників країни.
Тут НЕ ТРЕБА РОЗУМІТИСЯ В МАТЕМАТИЦІ, щоб зрозуміти, що у міністерства та його „експертів“, — не всі вдома, якщо вони затверджують підручники з абсолютно різними визначеннями одного і того ж терміну.
(Правильне визначення в підручнику математики 11 класу автора Бевз Г.П.
НЕправильні визначення в підручниках математики 11 класу авторів:
Нелін Є.П. (затверджено за Януковича міністром Д.Табачником в 2011 р.). Він чомусь у 70 років, як людина що захищала кандидатську дисертацію в м.Мос-ква, вирішив написати для українців зовсім-зовсім інший, ідіотичний „визначений_інтеграл“, не такий як у всіх нормальних людей в усьому світі! Навіть не такий як на московії! Потім цей підручник з цим дебільним псевдовизначенням в.інтегралу ще затверджує у 2019-му році міністр МОН Гриневич Л.М. (біохімік за освітою, сподіваюсь, що — за прикрим недоглядом, але з тяжкими масштабними наслідками), потім його маячню починають тиражувати всякі „просунуті“ вчителі математики з багато-престижних київських та прикиївських ліцеїв ( НЕправильні визначення: підручник Істер О. С. та підручники колективів „Мерзляк А. Г., Номіровський Д. А., Полонський В. Б., Якір М. С.“, „Афанасьєва, Бродський, Павлов, Сліпенко“ — призвичаїлись до маразму Неліна Є.П) )»

Інтеграл — це не таке вже і складне для математики 11-го класу поняття.
Нехай у нас є функція y = f(x) на відрізку хЄ[a,b]. Розглянемо графік цієї функції (див.малюнок).

Розглянемо НАД цим відрізком [a,b] площу МІЖ графіком f(x) та віссю x. Щоб знайти цю площу є очевидна гарна ідея розбити цей графік на вузенькі вертикальні прямокутники і просумувати їх площі. Чим ці прямокутники будуть тонші, тим точніше, з якої завгодно точністю, сумма площ цих прямокутників наблизиться до площі нашої фігури. (див.малюнок).

Одинадцятикласники вже давно знають що таке ліміт (границя, предел). Будемо дуже збільшувати кількість таких наших прямокутників при цьому їх товщина буде пропорційно зменшуватися і сума площин цих прямокутників стабілізується біля величини площі цієї всієї нашої фігури S. Отож,... якщо існує ліміт суми площ цих прямокутників коли товщина прямокутників наближається до нуля, а кількість прямокутників до нескінченності, то цей ліміт і вирішили називати «визначеним_інтегралом» (див.малюнок).

Що вирішили зробити ці московицькі Диверсанти Янукович-Табачник-Нелін?
Вони взяли формулу Ньютона-Лейбніца (див.малюнок)

де F(x) — це первісна від функції f(x) ...і підмінили нею визначення інтегралу.
«Як чудово!» «Як просто!» «Як легко запам'ятати дітям, що таке „інтеграл“!
---- Інтеграл — це F(b)-F(a), де F(x) — первісна f(x).-----
От і все! Таке коротке просте „визначення“ замість якоїсь величенької „плутанини“, яку довго треба пояснювати і розуміти!
Самі Ньютон і Лейбніц сказали, що вони дорівнюють значить, — одне і те саме! Хто ж наважиться заперечувати???

По-перше це — фікція, обман це зовсім не просте визначення! Та ще й не визначення взагалі!
За F(b)-F(a) криються непідйомні, незрозумілі для школяра складнощі. Це визначення „незрозумілого“ через інше „незрозуміле“.
F(x) це — первісна f(x). Звучить просто, але це — не просто. Бо ПЕРВІСНА, насправді це — функціонал, який функції f(x) ставить у відповідність функцію F(x), таку, яка є рішенням диференційного рівняння Похідна[f(x)]=F(x). А діти в 11 класі таких рівнянь не вивчали і в більшості навіть не чули про таке. А вирішуються такі рівняння через невизначений_інтеграл, який у свою чергу визначається через первісну. От вам і замкнуте коло дурні. І таке гарантовано не може розуміти навіть найкращий учень чи студент. Просто — абсолютно неправильний, дурачкуватий ланцюжок псевдовизначень.
Таке псевдо-визначення не дає учням абсолютно навіть натяку про метрику, про одиниці виміру інтегралу. Коли нормальний справжній інтеграл дає просте і чітке розуміння цього питання.

Ну добре, я пояснив чому ці псевдо-московито-визначення неправильні з точки зору педагогіки, ще я обіцяв пояснити, чому визначення визначеного_інтегралу через F(b)-F(a) неправильне з точки зору математики.
І от що тепер Сергію Григоровичу???
Зараз щоб виконати обіцяне розвінчання, треба спростовувати і заперечувати формулу Ньютона-Лейбніца?... Не бійтеся, — буде не складно, Ньютон і Лейбніц не постраждають.
Річ у тому що у визначенні формули Ньютона-Лейбніца є маленькі додаткові „непомітні“ смішні вимоги до функції f(x) — В УСІХ ТОЧКАХ відрізку [a,b] для неї МАЄ ІСНУВАТИ ЇЇ ПЕРВІСНА! І ще вона додатково має бути безперервною. Мабуть що, для пост-московицького докторо-педагога Неліна Є.П. та його послідовників це непомітно чи незрозуміло... Це для існування визначеного_інтегралу — не є обов'язкова вимога, а от для того, щоб працювала формула Ньютона-Лейбніца це — обов'язково.
Реальність така, що коли існує різниця F(b)-F(a) то визначений інтеграл цьому дійсно дорівнює, а от коли ця різиця не існує, то визначений інтеграл часто спокійно обходиться, існує і без неї.
F(b)-F(a) дорівнює інтегралу ф-її f(x) лише на деякій підмножині функцій, саме на безперервних, придатних до інтегрування в усіх точках відрізку функціях f(x).
Річ у тім, що в школі діти і вчителі живуть в основному у функціях типу многочленів та синуси, косинуси, вони — всюди неперервні. Але це просто — дуже-дуже тоненька підмножина всіх можливих функцій. На кожну таку красиву функцію є цілий continuum схожих функцій, але перерваних, чи в деяких точках непридатних для інтегрування.
Для зрозумілого прикладу візьмемо функцію f(x) яка дорівнює цілій частині x, на відрізку [1,2]... вона на всьому відрізку дорівнює 1 тільки в точці 2 дорівнює 2, а перед відрізком дорівнює нулю.
F(1) та F(2) на кінцях відрізка не існують, немає первісної в цих точках, отже і пост-московитський_визначений_псевдоінтеграл_Неліна впертий в українські школи на цьому відрізку не існує. А інтеграли Ньютона, Лейбніца, Римана, Лєбега прекрасно собі існують без проблем.

Так ми впевнилися що визначення Неліна не відповідає за обсягом поняття класичним визначенням визначеного_інтеграла.

*** — Я б сказав, що для працювання формули Ньютона-Лебніца достатньо щоб, F(x) існувала в т. а, в т. b та на [a,b], окрім можливо счітної кількості точок, але у визначеннях формули фігурує вимога саме до її існування по всьому відрізку.
Щоб ви розуміли про які важливі речі ми говоримо, формула Ньютона-Лейбніца ще називається „основною формулою інтегрального числення“ ("Fundamental theorem of calculus»). Ну і відповідно, щоб ви розуміли, що основна частина шкільних викладачів-Нелінців і постмосковські професоро-педагоги не розуміють, що там до чого
Я думаю що вся ця плутанина у московських дурків від того, що на заході це визначається інакше, а московити почали модифікувати та наробили помилок:
https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus

За основними моїми статтями-викриттями стосовно неправильних визначень можете подивитися тут:

Я навіть написав просту інструкцію, як звичайний випускник школи може ВВІЧЛИВО наставити й присоромити професора математики з цими ганебними антивизначеннями псевдо-інтегралів у підручниках.
https://site.ua/serhiy.grigorovich/spec-programa-kozen-moze-legko-stati-pocesnim-profesorom-matematiki-ci-pocesnim-vipusknikom-skoli-i0ovjvr

Офіційна маячня про невизначений інтеграл:
https://site.ua/serhiy.grigorovich/spec-programa-kozen-moze-legko-stati-pocesnim-profesorom-matematiki-ci-pocesnim-vipusknikom-skoli-i0ovjvr
https://site.ua/serhiy.grigorovich/ukrayina-vse-odno-ne-vizive-i0zmkr6
https://site.ua/serhiy.grigorovich/kak-stado-bessovestnyx-baranov-pozanimalo-akademiceskie-i-universitetskie-kafedry-rassledovanie-i01wl89
Офіційне марення про первісну:
https://site.ua/serhiy.grigorovich/velikii-prevelikii-den-rozdurackovuvannya-ukrayini-ta-bagatyox-bagatyox-insix-krayin-i7n1vz2
https://site.ua/serhiy.grigorovich/ci-treba-bude-vsix-vikladaciv-matematiki-starsix-klasiv-i-persix-kursiv-vnz-sadzati-v-tyurmi-c1-i7w8gqo

Офіційне марення про визначений інтеграл:
** — прямо тут скопіював у примітки там — коротко.

ПРИМІТКИ:
** — Це глупо, шкідливо і небезпечно вчити студентів та інженерів що інтеграл це просто «число». Бо визначений інтеграл — це у кожному конкретному випадку, є певна величина, або іншими словами, — якась кількість міри, або іншими словами, — число_з_одиницями_виміру. Те, що визначений інтеграл є «границею», це не скасовує той факт, що він є сумою_добутків деяких фізичних або геометричних ВЕЛИЧИН З ЇХ ВІДПОВІДНИМИ ОДИНИЦЯМИ ВИМІРЮВАННЯ. Сподіваюсь всім абсолютно зрозуміла різниця між математичним поняттям «число 5», і поняттям «5 квадратних метрів», чи «5 джоулів». Скоріше за все тут поняття «число» виникло і потрапило у визначення з «пояснення для дітей», про те що визначений інтеграл це не функція, а САМЕ якась конкретна величина. І тут вкрай помилково пропущене суттєве питання, стосовно одиниць виміру. Визначений інтеграл у кожному випадку є «не просто числом», а конкретним значенням якоїсь фізичної величини. Або некомпетентний перекладач-крадій-копипастер переклав без розуміння замість «величина», слово «число». А саме поодиноке слово «число» в математиці означає підкреслено «число без одиниць виміру». Від цього виникає значне неприйнятне перекручення поняття. Загалом-то в довіднику достатньо замінити слово «число» словом «величина» або «границя» (рос. — «предел»).